OpenAI：攻克纳维-斯托克斯千禧年大奖难题

OpenAI发文，声称攻克纳维-斯托克斯千禧年大奖难题。

全文如下：

我们（OpenAI）公布纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性问题的一项解答，这是七大千禧年大奖难题之一。这份证明由OpenAI自研内部系统完成，证明了描述流体运动的纳维-斯托克斯方程，其动力学行为可在有限时间内产生奇点。我们同时公开证明文稿，以及用Lean定理证明器完成的形式化验证版本。

克莱数学研究所提出的千禧年大奖难题，代表着数学前沿领域中一些最深奥的问题。三维光滑流体运动是否会发生“破缺”这一问题，已悬而未决约90年。

本研究的核心目标之一，是赋能科学家推进科研与技术发展，造福全人类。为攻克纳维-斯托克斯难题，我们使用了一款内部模型，其能力显著强于GPT‑6 Astra。我们认为，有必要向全世界披露AI的发展速度，以及下一代模型可以实现的能力。

问题简介

纳维-斯托克斯方程基于牛顿第二运动定律（F=ma）描述流体的运动。重要的一点是：该方程将流体视作连续介质，而非追踪一个个独立分子。这套方程被应用于飞行器设计、天气预报以及血液流动研究。

该动力学方程有一个核心悬而未决的问题：流体的连续介质近似是否会失效。具体来说：对于密度恒定的三维不可压缩流体，即便初始流动状态是光滑的，纳维-斯托克斯方程是否会产生“奇点”？本文所说奇点，指流体的运动速度会在有限时间内趋于无穷大。这种奇点的产生，是在粘性（粘性本会让流动趋于平滑）存在的前提下发生的。现实世界里流体不可能拥有无穷大速度，一旦出现奇点，就代表这套方程对流体的描述失效。想要继续模拟系统，就必须转而追踪每一个粒子的运动。

该方程由克劳德-路易·纳维与乔治·加布里埃尔·斯托克斯在19世纪推导得出。1934年，让·勒雷证明了该方程在广义意义下存在解，但解是否始终保持光滑，成为一个核心未解问题。2000年，克莱数学研究所将纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性问题，列为七大千禧年大奖难题之一。

研究结论

我们的系统给出了解析证明，并且完成Lean形式化验证：原本静止、流动光滑的流体，可以在有限时间内产生奇点。流体受到光滑外力作用，从静止到奇点形成的整个过程中，能量始终保持有限。 这一结论证明了克莱数学研究所文档中陈述C（同时也证明陈述D），从而解决纳维-斯托克斯千禧年难题。

该解是一种涡旋：流体向内旋转、不断拉长，形态类似意大利面。中心区域不断收缩，流速持续升高，但能量依旧保持有限，符合物理定律。 难点在于：方程必须依靠流体自身运动产生破缺，而不是人为施加无穷大外力。从数学角度讲，纳维-斯托克斯方程中描述运动的各项——加速度、压强梯度、动量输运、粘性项，数值都可以变得很大，但相互精确抵消。这种精妙的平衡，使得外部作用力保持光滑，而流体流速趋于无穷。

局部不可压缩流体运动示意图。橙色代表旋转角速度更快，蓝绿色代表旋转更慢。环流速度也与半径相关。流线轨迹呈现向内螺旋与轴向拉伸形态

我们如何找到这份证明

自8月28日起，我们开始训练一款全新内部模型，它在我们精选的基准测试集（包含大量数学题）上展现出前所未有的性能。该模型仍在持续训练，能力还在提升。

GPT‑6 Astra与自研内部模型在精选公开数学难题集上的表现，横轴：测试计算量（对数坐标），纵轴：通过率

9月1日周二，我们听闻有传言称两道千禧年难题已被解决。受此消息启发，加上自研内部模型能力出现跨越式提升，我们启动了一项测试，用该模型去挑战所有未解决的千禧年难题以及另外几个高难度数学问题。

我们搭建了一套由自研内部模型驱动、多智能体协同工作的系统。智能体可调用工具，读取缓存的互联网信息，运行代码。智能体被划分成多个小组，组内可以互相通信。小组规模各不相同，最终完成纳维-斯托克斯证明的小组，大约有10000个并发智能体。全程我们沿用前沿模型评估时的严格安全管控机制，包含监控与隔离。

针对每一道难题，我们给不同智能体小组输入不同版本的原题，覆盖该问题全部变体。针对纳维-斯托克斯问题，我们把A、B版本（证明成立方向）和C、D版本（证伪方向）分别交给不同小组。

除完整千禧年难题之外，我们还让这套多智能体系统尝试一批难度更低的相关问题。其中一题是去掉粘性项后的纳维-斯托克斯极限问题，也就是欧拉方程的正则性问题。智能体团队意外解决了这个问题。他们完成的是无外力版本欧拉方程的爆破问题证明：流体不受外部作用力。近100个智能体协同工作，耗时约50小时完成欧拉方程正则性的证伪。

看到欧拉方程问题被解决之后，我们判断纳维-斯托克斯是最有希望攻克的目标。于是我们调配资源集中攻坚纳维-斯托克斯，把智能体从其他千禧年难题任务中调出，并把欧拉方程的结论作为提示词输入智能体。项目推进过程中，内部模型迭代出新版本，我们同步升级了智能体底层模型。

我们鼓励不同智能体小组探索多样化解题思路。一段时间后，借助Codex整合各个小组最有价值的思路，交叉融合各组成果。后续提示词会复用智能体自己产出的中间推导结果。找到纳维-斯托克斯解答的小组，正是采用这套工作模式。

首批智能体启动约88小时后，也就是9月5日周六，智能体团队得到纳维-斯托克斯问题的解。之后由GPT‑6 Astra完成Lean形式化编写与验证，额外耗时17小时。

在所有尝试的难题任务中，智能体总共发送490万条消息，消耗约3000亿输出token。仅在攻克纳维-斯托克斯问题过程中，智能体发送270万条消息，消耗约1300亿输出token。

同期相关工作

我们的项目9月1日启动，起因是一则传闻。后续我们了解到传闻涉及Anthropic研究员莱文特·阿尔珀格，以及纽约大学数学教授特里斯坦·巴克马斯特。在我们完整完成证明、并做完Lean验证（9月6日）之后，我们以为他们也得到了纳维-斯托克斯方程的解，于是主动联系对方，提议同步发布成果，并且在联合声明中认可他们成果的优先权。沟通后我们得知，他们解决的是带外力版本欧拉方程问题。在交流过程中，我们向他们开放了全部提示词，后续也开放阅读我们完整证明。我们认可他们在带外力欧拉方程方向工作的优先权，并祝贺他们取得这项杰出数学成果。

在他们成果公开发表之前，我们研究团队与智能体从未以任何方式接触他们的研究内容。特别说明：我们没有调取任何用户数据用于本次难题求解。尽管可能性极低，但我们无法完全排除经过去标识化处理、来自OpenAI产品用户的数据对模型产生过影响。不过，我们双方的证明存在巨大差异；即便针对欧拉方程，我们证明的结论本身也不一样（无外力版本 vs 带外力版本）。

进展与责任

我们发布这项成果，目的是报告AI模型取得的重大进展。我们并不打算凭借这一成果去申领千禧年大奖奖金。

这项里程碑成果，凝聚了数学家与AI研究者大量工作。但这不是终点，只是AI发展进程里的一个阶段性快照。